Dokumentation

Kurzfassung:

Dimensionierung von Axialventilatoren mit fan-designer, um auf der Basis des berechneten Geometrievorschlages einen passenden Axiallüfter aus speziellen Herstellerkatalogen auszuwählen.

Systemvoraussetzung:

Webbrowser mit aktiviertem JavaScript (XMLHttpRequest):
  • z.B. Internet Explorer ab Version 6.0, Firefox ab Version 1.0

Verwendete Methoden und Modelle:

  • Entwurf der Lüftergeometrie
    • Die Berechnung nutzt bekannte Cordier-Diagramme (vgl. Literaturangaben) und die eindimensionalen Stromfadentheorie mit Korrelationen für verschiedene Strömungsverluste (Superposition der einzelnen Verlustanteile) sowie Minderumlenkung. Die empirische Berechnung der Verluste dient der Abschätzung des Wirkungsgrades und wird bei der Ermittlung der Schaufel- bzw. Profilgeometrie berücksichtigt. Als Auslegungsvorgabe zur Berechnung der Schaufelgeometrie ist die Potentialwirbelauslegung implementiert (cu*r=konst., cax=konst.)
  • Verlustkorrelationen
    • Profilverluste
    • Wandverluste und Spaltverluste
    • Minderumlenkung

    Stand: 26. Mai 2010


    Inhalt


    Fan-Designer: Berechnung von axialen Gebläsen und Ventilatoren

    Das Programm fan-designer ist eine Weiterentwicklung eines am Institut für Thermische Energietechnik der Universität Kassel, Fachgebiet Strömungsmaschinen erstellten Programms zur Berechnung von Turbomaschinenkomponenten. Die vorliegende Programmdokumentation beschreibt die Anwendung von fan-designer auf das Rotorgitter eines Axialgebläses bzw. Axiallüfters. Die Berechnungsmöglichkeiten gliedern sich in die Bereiche
    • Entwurf und Auslegung
    • Verdichterkennfeld

    Die Zustandsänderung im Gitter

    Die Berechnung der Zustandsänderung im Gitter basiert auf der eindimensionalen Stomfadentheorie, bei der alle Strömungs- und Zustandsgrößen durch repräsentative Mittelwerte ersetzt werden. Jedes Gitter bzw. der Rotor im Ringraum wird durch zwei Bilanzebenen begrenzt (vgl. Abbildung 1).

    Abb. 1: Einstufiger Axialverdichter (schematisch)
    Die Austrittsebene eines Gitters ist nicht identisch mit der Eintrittsebene des nachfolgenden Gitters. Dadurch werden Veränderungen der Strömungsgeschwindigkeiten durch die Abhängigkeit der repräsentativen geometrischen Größen $ A$ und $ r_{rep}$ (repräsentativer Radius) von der Achskoordinate berücksichtigt.

    Der Ablauf zur Berechnung der strömungsmechanischen und thermodynamischen Zustandsgrößen am Verdichtereintritt und an den Ein- und Austrittsebenen der Gitter zeigt Abbildung 2.

    Abb.: 2 Ablauf der Berechnung zur Zustandsänderung im Verdichter

    Aus den eingelesenen Daten werden als erstes die statischen Größen am Maschineneintritt (Ebene 0) und an der Eintrittsebene des ersten Gitters bestimmt. Der reale Massenstrom $ \dot m$ und die reale Drehzahl $ n$ berechnen sich zu

    $\displaystyle \dot m= \dot m_{ISA}\frac{\frac{p_{t0}}{p_{ISA}}} {\sqrt{\frac{T_{t0}}{T_{ISA}}}} \qquad \qquad n= n_{ISA}\sqrt{\frac{T_{t0}}{T_{ISA}}}$ (1)

    Durch die Berechnung korrigierter Größen sind die Kennfelder vom Umgebungszustand (Totaldruck und Totaltemperatur - Versuchsbedingungen) unhabhängig. Für die korrigierten Werte ist auch die Machzahl fest. Die Darstellung basiert auf der sogenannten Machähnlichkeit.

    Anschliessend wird der Gitterverlust $ \omega_{G}$ (Gleichung 2 bzw.37) mit der in Kapitel 4 beschriebenen Verlustkorrelation bestimmt.

    Auf der Grundlage des durch die Korrelation berechneten Gitterverlustes wird die Gitteraustrittsmachzahl berechnet. Dazu wird aufgrund des berechneten Gitterverlustes $ \omega_G$ die Gitteraustrittsmachzahl solange variiert (Newtonverfahren) und eine Berechnung eines physikalischen Gitterverlustbeiwertes $ \omega$ (Gleichung 2)

    $\displaystyle \omega=\frac{p_{t,a,is}-p_{t,a}}{p_{te}-p_e}$ (2)

    durchgeführt, bis die Bedingung

    $\displaystyle \omega-\omega_{G}<\epsilon$ (3)

    erfüllt wird. Die Definition des Totaldruckverlustes (Verlustbeiwert $ \omega$) basiert auf der Annahme, dass die isentrope Totaltemperatur $ T_{ta,is}$ identisch der Totaltemperatur $ T_{ta}$ ist. Weiterhin verläuft die isentrope Zustandsänderung und die polytrope Zustandsänderung auf den gleichen statischen Austrittsdruck ($ p_{a}$=$ p_{a,is}$) (vgl. Abbildung 3).

    Abb.: 3 T-s-Diagramm der Zustandsänderung eines Verdichtergitters
    Die Berechnung der statischen Strömungsgrößen aus den Totalgrößen erfolgt durch die Anwendung eines Newtonverfahrens auf eine Beziehung aus dem idealen Gasgesetz, dem 1.HS, einer lokalen Isentropie und der Totaltemperatur.

    Bestimmung des integralen Gitterverlustbeiwertes im Design - Entwurfsphase

    Eine der wichtigsten Fragen bei der Auslegung yon Axialverdichtern ist nach wie vor die Bescbreibung der aerodynamischen Verluste. Das am häufigsten angewendete Verfahren ist bisher die Einführung von Minderumlenkung und Totaldruckverlust in die Strömungsgleichungen durch Vorgabe oder schrittweise Berechnung mittels halbempirischer Modelle.

    Verlustmodelle für den Totaldruckverlustbeiwert eines Gitters (Zuströmung mit Design-Inzidenz) sind aus gezielten experimentellen und theoretischen Untersuchungen entstanden, um die einzelnen Verlustmechanismen zu beschreiben.
    Die hier vorgestellte Vorgehensweise folgt der Aufteilung der Gesamtverluste:
    • 2D Profilverlust $ \omega_{Profil}$
      • inkompressibel
      • kompressibel
      • Stoßverluste (Überschallzuströmung bzw. -abströmung mit $ Ma>1$) (in Version 1 nicht berücksichtigt)
    • Randverluste (Nabe, Gehäuse) $ \omega_{Rand}$
      • Seitenwand
      • Sekundärströmung (in Version 1 nicht berücksichtigt)
      • Spaltströmung

    Der Verlust der inkompressiblen 2D Profilgrenzschicht ergibt sich aus

    $\displaystyle \omega_{ink.}=f\left(\frac{\delta_2}{l},\frac{t}{l},\alpha_1,\alpha_2\right)$ (4)

    Dabei ist $ \delta_2$ die Impulsverlustdicke an der Hinterkante [9]

    $\displaystyle \omega_{ink.} = 2\frac{\delta_2}{l} \left( \frac{\sigma}{\sin(\al...
...) \left(1-\frac{\delta_2}{l} \frac{\sigma H_2}{ \sin(\alpha_{2}) } \right)^{-3}$ (5)

    Mit dem reziproken Wert des Teilungsverhältnisses

    $\displaystyle \sigma=\frac{l}{t}$ (6)

    der rel. Impulsverlustdicke an der Hinterkante [14]

    $\displaystyle \frac{\delta_2}{l} = 0.00138 e^{(1.1127 Deq)} + 0.0025$ (7)

    dem Formfaktor $ H_2$

    $\displaystyle H_2 = 1.26 + 0.795 (Deq-1.0)^{1.681}$ (8)

    sowie dem äqivalenten Diffusionsverhältnis

    $\displaystyle Deq = \frac{\cos(\alpha_{2})}{\cos(\alpha_{1})} \left( 1.12 + 0.6...
...(\cos(\alpha_{1}))^{2} }{\sigma} ( \tan(\alpha_{1}) - \tan(\alpha_{2})) \right)$ (9)

    Der integrale Gitter Verlustbeiwert im Design $ \omega_{d}$ setzt sich aus den einzelnen Verlustanteilen wie folgt zusammen:


    $\displaystyle \omega_{Profil}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \omega_{ink.} f_1(Re)$ (10)
    $\displaystyle \omega_{Rand}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \omega_{Wand} f_2(Re) + ( \omega_{sek.} + \omega_{Spalt} ) f_3(Re)$ (11)
    $\displaystyle \omega_{d}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \omega_{Profil} + \omega_{Rand}$  

    $ f_1(Re)$, $ f_2(Re)$,$ f_3(Re)$: Einflüsse der Reynoldszahl $ Re=\frac{\varrho c l}{\mu}$
    Bei Gasen ist die dynamische Zähigkeit $ \mu$ eine Funktion der Temperatur
    Bemerkung: Stoßverluste werden zur Zeit nicht berücksichtigt.

    Die Abhängigkeit der Verluste von der Reynoldszahl wird auf verschiedene Arten berücksichtigt:

    • Korrekturfaktor für die Impulsverlustdicke an der Schaufelhinterkante (Profilverlustanteil): $ f_1(Re)$

      $\displaystyle \frac{\theta}{\theta_{ref}} = \frac{1}{ (Re_{ref}/Re_{eck})^{Re_{slope,i}} } \left(\frac{Re}{Re_{eck}}\right)^{Re_{slope,i}}$ (12)

      Darin sind $ Re_{slope,i}$ Parameter, die den Steigungsverlauf im doppeltlogarithmischen Maßstab beschreiben.

    • Aufwerteformel für den Wirkungsgrad, um die Änderung empirischer Verlustwerte, die nur für eine Referenzreynoldszahl gelten, zu berücksichtigen: $ f_2(Re)$

      $\displaystyle \eta = 1-(1-\eta_{ref})\left(\frac{Re}{Re_{ref}}\right)^{(-n)}$ (13)

      $\displaystyle f_2(Re)=\left(\frac{Re}{Re_{ref}}\right)^{\epsilon}$ (14)

    • Verluste durch Reibung an Nabe und Gehäuse $ \omega_{Wand}$ analog zur Rohrreibung: $ f_3(Re)=\lambda(Re)$

      $\displaystyle \omega_{Wand}=\frac{\Delta p}{\frac{\varrho}{2}c_2}=\lambda(Re)\frac{l}{d}$ (15)

      $ \lambda$: Rohrreibungsbeiwert, $ l$: Rohrlänge, $ d$: Durchmesser (Schaufelhöhe)

    Eine Blockage des Ringraumes wird durch Blockagefaktoren $ B_i$ am Gittereintritt und Austritt berücksichtigt:

    $\displaystyle A_{eff,i} = A_i (1-B_i)$ (16)


    Die Verlustkorrelation im Off-Design

    In der hier verwendeten Verlustkorrelation werden die gesamten Verlustmechanismen in einem Axialverdichtergitter auf eine Abhängigkeit von der Machzahl und der Inzidenz reduziert. Diese Abhängigkeit wird in Form eines mathematischen Modells, was den qualitativen Verlauf des Verlustes beschreibt, umgesetzt.

    $\displaystyle \omega_G=f(Ma,i)=f_1(Ma)\cdot f_2(i)\cdot \omega_d$ (17)

    Die Gleichung 17 zeigt den allgemeinen Zusammenhang der Verlustkorrelation. Sie besteht aus einer Funktion $ f_1(Ma)$, die den Machzahleinfluss charakterisiert und einer Funktion $ f_2(i)$, die den Verlustanstieg aufgrund der Fehlanströmung beschreibt. Der Wert $ \omega_d$ ist dabei der Totaldruckverlustbeiwert im Auslegungspunkt. Die Zusammenhänge werden in den folgenden Kapiteln beschrieben


    Einfluss der Anströmmachzahl auf den Verlust

    Der Gitterverlust nimmt mit steigender Zuströmmachzahl zu. Aus Messergebnissen in [2] ergibt sich ein qualitativer Verlustanstieg bei konstanter Fehlanströmung nach Abbildung 4.

    Abb. 4: Machzahleinfluss auf das Verlustniveau

    Dieser Einfluss der Zuströmmachzahl wird durch eine Exponentialfunktion im Programm approximiert (Gleichung 18) .

    $\displaystyle \omega_{Ma}(Ma)={C_1}+Ma+{C_2}e^{{C_3}(Ma-1)^2}$ (18)

    Der Parameter $ C_1$ beeinflusst den Ordinatenoffset. Je höher $ C_1$ eingestellt wird, desto flacher verläuft die Kurve zur Auslegungsmachzahl und je niedriger liegt der Extremwert (Hochpunkt) auf der Ordinate. Zusätzlich wird die Lage der Extremalstelle auf der Ordinate durch den Parameter $ C_2$ eingestellt. Der Wert für $ C_3$ bestimmt die Steigung des Kurvenverlaufes.

    Weicht die Zuströmmachzahl von der Auslegungsmachzahl ab, so berechnet sich der Verlust zu

    $\displaystyle \omega_{Ma}(Ma=Ma_{od})=\omega_{Ma,od}$ (19)

    Für den Auslegungspunkt existiert ein Verlust aus der Zuströmmachzahl von

    $\displaystyle \omega_{Ma}(Ma=Ma_d)=\omega_{Ma,d}$ (20)

    Durch Normierung des Machzahlverlustes $ \omega_{Ma,od}$ im Off-Design auf den Designwert $ \omega_{Ma,d}$ erhält man die Definition der Funktion $ f_1(Ma)$ in Gleichung 17 zu

    $\displaystyle f_1(Ma)=\frac{\omega_{Ma,od}}{\omega_{Ma,d}}$ (21)

    Die Abhängigkeit der Korrelationsparameter wird durch zwei Exponentialfunktionen angenähert.

    $\displaystyle C_2(Ma_d)=a\cdot e^{b\cdot Ma_d} \qquad \textrm{mit} \qquad a=1.330 \qquad \textrm{und} \qquad b=3.130$ (22)

    $\displaystyle C_3(Ma_d)=c\cdot e^{d\cdot Ma_d} \qquad \textrm{mit} \qquad c=-5.757 \qquad \textrm{und} \qquad d=2.706$ (23)

    Die online Version fan-designer berücksichtigt keine Machzahlabhängigkeit.


    Einfluss der Fehlanströmung auf den Verlust

    Die Inzidenz berechnet sich aus dem aktuellen Anströmwinkel am Gittereintritt $ \beta_e$ und dem vorgegebenen Strömungswinkel im Auslegungspunkt $ \beta_{d,e}$. Das Geschwindigkeitsdreieck in Abbildung 5 zeigt die Veränderung der Geschwindigkeitsvektoren- und winkel und somit der Inzidenz in Abhängigkeit von der Gitterbelastung (stall) und Gitterentlastung (choke) für ein Lauf- und Leitgitter bei Vernachlässigung des Anwachsens der Profilgrenzschicht.

    Abb. 5: Geschwindigkeitsdreieck bei unterschiedlicher Gitterbelastung

    Wird der Massenstrom durch Androsseln verringert, nehmen die Strömungsgeschwindigkeiten ab und die Beträge der Strömungswinkel zu. Das Gitter wird gegenüber dem Auslegungspunkt höher belastet und neigt zur Ablösung. Der Inzidenzwinkel wird in diesem Fall als positiv definiert. Mit dieser Vereinbarung berechnet sich die Inzidenz für ein Leitrad unter Berücksichtigung der Winkelvorzeichen nach Gleichung 24.

    $\displaystyle i=\beta_e-\beta_{d,e} \qquad \textrm{mit} \qquad \beta_{d,e}\ge 0$ (24)

    mit

    $\displaystyle \beta_e=\alpha_{e} \qquad \textrm{da} \qquad w_{u}=c_{u}-u \qquad \textrm{und} \qquad u=0$ (25)

    Entsprechend gilt für ein Laufrad die Gleichung 26.

    $\displaystyle i=\beta_{d,e} -\beta_e \qquad \textrm{mit} \qquad \beta_{d,e}<0$ (26)

    Der parabelförmige Verlauf des Verlustbeiwertes durch Fehlanströmung bei konstanter Machzahl wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben (Gleichung 27).

    $\displaystyle f_2(i)=\frac{\omega_i}{\omega_d}(\delta_a)=1+(\delta_a)^2\ \left(a\ e^{\alpha \ \delta_a}+b\ e^{\beta \ \delta_a}\right)$ (27)

    Die bezogene Größe $ \frac{\omega_i}{\omega_d}$ ist eine Funktion der Inzidenz im Off-Design. Die Gleichung liefert einen reduzierten Wert, der den Verlustanstieg relativ zum Designverlust $ \omega_d$ beschreibt. Die Verlauf der Exponentialfunktion wird durch drei charakteristische Inzidenzwinkel definiert. Der qualitative Verlauf des Verlustbeiwertes und die Abhängigkeit der charakteristischen Inzidenzwinkel von der Machzahl zur Beschreibung der Verlustparabel zeigt Abbildung 6.

    Abb. 6: Definition der Inzidenz-Verlustfunktion

    Die charakteristischen Inzidenzen bedeuten im einzelnen:

    • $ i_{c}$ = Inzidenzwinkel für Entlastung (choke - $ i_{c}<0^{\circ}$)
    • $ i_{m}$ = Inzidenzwinkel bei minimalen Verlust
    • $ i_{s}$ = Inzidenzwinkel für Belastung (stall - $ i_{s}>0^{\circ}$)
    Jeder charakteristische Inzidenzwinkel ist von der Gitterzuströmmachzahl abhängig. Die Beschreibung dieser Abhängigkeit, um den Verlauf der Verlustparabel bei Machzahlerhöhung zu definieren, erfolgt mit einer abschnittsweisen linearen Funktion (vgl. rechtes Bild der Abbildung 6). Die Zusammenhä&nge werden weiter unten im Kapitel erläutert.
    Die Konstanten $ a$ und $ b$ in Gleichung 27 ergeben sich aus den Bedingungen (Gleichungen 28), dass die Exponentialfunktion an den Inzidenzen $ i_{s}$ und $ i_{c}$ gerade den doppelten Wert des Minimalverlustes besitzen.

    $\displaystyle \frac{\omega_i}{\omega_d}(i_c)=2 \qquad \qquad \frac{\omega_i}{\omega_d}(i_s)=2$ (28)

    Durch Anwendung der Bedingungen auf Gleichung 27 ergeben sich die beiden Gleichungen
    $\displaystyle 2=1+(\delta_c)^2\ \left(a\ e^{\alpha \ \delta_c}+b\ e^{\beta \ \delta_c}\right)$     (29)
    $\displaystyle 2=1+(\delta_s)^2\ \left(a\ e^{\alpha \ \delta_s}+b\ e^{\beta \ \delta_s}\right)$     (30)

    Aus diesen Gleichungen berechnen sich die Koeffizienten $ a$ und $ b$ zu
    $\displaystyle a=-\frac{C_2-C_4}{(C_4\ C_1)(C_3\ C_2)}$     (31)
    $\displaystyle b=\frac{C_1-C_3}{(C_4\ C_1)(C_3\ C_2)}$     (32)

    mit den Abkürzungen

    $\displaystyle C_1=\delta_s^2\ e^{\alpha \ \delta_s} \qquad C_2=\delta_s^2\ e^{\...
...3=\delta_c^2\ e^{\alpha \ \delta_c} \qquad C_4=\delta_c^2\ e^{\beta \ \delta_c}$ (33)

    und den Differenzen der Inzidenzen

    $\displaystyle \delta_s=i_s-i_m \qquad \delta_c=i_c-i_m \qquad \delta_a=i-i_m$ (34)

    Die Koeffizienten der Korrelation sind unzulässig, falls $ a\ \cdot b <0$. Ist diese Bedingung erfüllt, entspricht der Funktionsverlauf des Verlustes nicht den experimentellen Zusammenhängen.

    Die Abhängigkeit der Inzidenzen $ i_{c}$ und $ i_{s}$ von der aktuellen Zuströmmachzahl werden durch lineare Funktionen (Gleichungen 35 und 36) approximiert (vgl. rechtes Bild in Abbildung 6). Für $ i_{c}$ gilt:

    $\displaystyle i_c= \left\{ \begin{array}{ccc} i_{c,l} & \textrm{f\~{A}\ensurema...
...{f\~{A}\ensuremath{\frac{1}{4}}r }& \ Ma_{l}< Ma\leq Ma_{h} \end{array} \right.$ (35)

    Die Lage der Inzidenz für $ i_s$ verschiebt sich mit steigender Machzahl zu kleineren Inzidenzen. Die Funktionsgleichung lautet damit

    $\displaystyle i_s= \left\{ \begin{array}{ccc} i_{s,h} & \textrm{f\~{A}\ensurema...
...{f\~{A}\ensuremath{\frac{1}{4}}r }& \ Ma_{l}< Ma\leq Ma_{h} \end{array} \right.$ (36)

    Der Verlauf der Minimalverlust-Inzidenz $ i_{m}$ kann über einen Schalter im Programm für das Gitter eingestellt (hier: konstant). $ \rightarrow$ Für den Schalterwert gilt:

    • 0 = Stützstelle $ i_{m}$ nimmt mit steigender Machzahl zu
    • 1 = Stützstelle $ i_{m}$ nimmt mit steigender Machzahl ab
    • 2 = Stützstelle $ i_{m}$ bleibt konstant
    Die geeignete Wahl der charakteristischen Inzidenzwinkel $ i_{c,l,h}$ und $ i_{s,l,h}$ hat bei der Kennfeldnachrechnung den größten Einfluss auf die Beschreibung des zulässigen Off-Design-Bereichs. Während die Machzahlparameter das Verlustniveau definieren, sind die charakteristischen Inzidenzwinkel ein Maß für den Verlustanstieg in der Nähe der Stabilitäts- und Sperrgrenze. Der Wert für den charakteristischen Inzidenzwinkel $ i_s$, der den doppelten Minimalverlust durch Inzidenz bei Gitterbelastung festlegt, ist somit ein Maß für das Aufteten der maximalen Druckverhältnisse an der Stabilitätsgrenze.
    Weiterhin ergibt sich aus den Beträgen für $ i_{c,l,h}$ und $ i_{s,l,h}$ der zulässige Wertebereich für die Parameter $ \alpha $ und $ \beta $. Je kleiner die Beträge der Werte gewählt werden, desto gleichmäßiger nehmen die Verluste bei geringer Inzidenz zu. Im Gegensatz dazu bleibt der Verlust bei hohen Beträgen von $ \alpha $ und $ \beta $ zunächst auf einem niedrigen Niveau, steigt dann aber sprunghaft an. Aus Kennfeldberechnungen in [3] ergaben die Werte $ \alpha $ =0.3 und $ \beta $ =-0.3 eine gute Übereinstimmung zwischen Rechnung und Messung.

    Die Auswahl der charakteristischen Inzidenzen für verschiedene Verdichterkonfigurationen wurde in [3] anhand verschiedener Verdichterkonfigurationen kalibiriert. Die minimalen Beträge für $ i_{s,l}$ und $ i_{c,l}$ liegen dabei bis $ 4^{\circ}$. Die Werte für den Verlauf der maximalen Inzidenz $ i_{s,h}$ bei Gitterbelastung liegen im Bereich von $ i_{s,h}=7^{\circ}$ bis $ i_{s,h}=12^{\circ}$.


    Ergebnis der Verlustkorrelation im Off-Design

    Die in den vorhergehenden Kapiteln beschriebenen Verlustanteile in Abhängigkeit der Zuströmmachzahl (Gleichungen 18) und der Inzidenz (Gleichungen 27) werden zu der Gleichung 37 für den Gesamtverlust zusammengesetzt.

    $\displaystyle \omega_{G}=\omega_d\ \frac{\omega_{Ma,od}}{\omega_{Ma,d}}\left[ 1...
...elta_a}^2\ \left(a\ e^{\alpha \ \delta_a}+b\ e^{\beta \ \delta_a}\right)\right]$ (37)

    Der Verlustbeiwert $ \omega_d$ beinhaltet alle Verlustanteile des Gitters, wie Spalt-, Profil- und Grenzschichtverluste im Auslegungspunkt. Er kalibriert in Gleichung 37 den qualitativen Verlauf zu einem Gesamtdruckverlust im Off-Design. Der qualitative Verlauf des Verlustes als Funktion der Inzidenz wird durch den Klammerausdruck festgelegt. Der Koeffizient $ \frac{\omega_{Ma,od}}{\omega_{Ma,d}}$ charakterisiert den Einfluss der Machzahl. Ist die Zuströmmachzahl grösser als die Auslegungsmachzahl, so nimmt der Gitterverlust zu.

    Das linke Bild der Abbildung 7 zeigt an einem Beispiel die Abhängigkeit der $ 3$ charakteristischen Inzidenzwinkel $ i_{c}$, $ i_{m}$ und $ i_{s}$ von der aktuellen Zuströmmachzahl, welche im Programm anhand dieser Funktionsverläufe ermittelt werden.

    Abb. 7: Charakteristische Inzidenzwinkel und Verlust durch Inzidenz

    Ist die aktuelle Machzahl kleiner als $ Ma_{l}=0.3$, bleiben die charakteristischen Inzidenzwinkel konstant. überschreitet die Zuströmmachzahl den Wert für $ Ma_{l}$, so vergrößern (choke), bzw. verkleinern (stall) sie sich linear mit der aktuellen Machzahl bis zum Erreichen von $ Ma_{h}=0.9$. Ist die aktuelle Machzahl größer als $ Ma_{h}$, bleiben die Inzidenzwinkel wiederum konstant. Im vorgestellten Beispiel wird die Minimalverlust-Inzidenz $ i_{m}$ bei steigender Zuströmmachzahl größer.
    Das rechte Bild der Abbildung 7 zeigt den Verlauf des Verlustes bei konstanten Zuströmmachzahlen. Dabei wurde weder der Verlustbeiwert $ \omega_d$ im Design noch der Verlust durch die Zuströmmachzahl $ \frac{\omega_{Ma,od}}{\omega_{Ma,d}}$ berücksichtigt. Der Minimalverlust bleibt analog zur Abbildung 6 auf dem gleichen Verlustniveau ( $ \frac{\omega_i}{\omega_d}=1$). Mit höheren Machzahlen nehmen die Verluste aufgrund der abhängigen Parameter $ i_{c}$, $ i_{m}$ und $ i_{s}$ schneller zu.

    Das Ergebnis der Gesamtkorrelation (Abbildung 8) zeigt den Totaldruckverlust als Funktion der Inzidenz und Machzahl.

    Abb.: 8 Gesamtdruckverlust in Abhängigkeit der Inzidenz und Zuströmmachzahl

    Durch die Berücksichtigung des Verlustes aufgrund der Machzahl steigt das Verlustniveau bei Machzahlerhöhung. Der Design-Verlust $ \omega_d$ skaliert den qualitativen Verlauf des Off-Design-Verlustes auf die aktuelle Gittercharakteristik.
    Erläuterung zur Verlustkorrelation im Design

    Zunächst wird die Auswirkung einer Auslegungspunktnachrechnung auf die Gleichung 37 der Verlustkorrelation erklärt. Der Verlustbeiwert der Machzahlabhängigkeit berechnet sich zu

    $\displaystyle \omega_{Ma}(Ma)={C_1}+Ma+{C_2}e^{{C_3}(Ma-1)^2} \qquad \textrm{mit} \qquad Ma=Ma_d$ (38)

    Da die Zuströmmachzahl bei Minimalverlust gleich der Auslegungsmachzahl ist, ist der Wert des Parameters $ \omega_{Ma}(Ma)$ identisch $ \omega_{Ma,d}$ (Gleichung 38). Der Verlustbeiwertkoeffizient $ \frac{\omega_{Ma}(Ma)}{\omega_{Ma,d}}$ in Gleichung (39) berechnet sich damit zu $ 1$.

    $\displaystyle \omega_{G}=\omega_d\ \frac{\omega_{Ma}(Ma)}{\omega_{Ma,d}}\left( ...
...elta_a}^2\ \left(a\ e^{\alpha \ \delta_a}+b\ e^{\beta \ \delta_a}\right)\right)$ (39)

    Für die Inzidenz im Auslegungspunk gilt

    $\displaystyle i=i_m \qquad \textrm{und somit} \qquad \delta_a=i-i_m=0^{\circ}$ (40)

    Damit reduziert sich Gleichung (39) zu

    $\displaystyle \omega_{G}=\omega_d$ (41)

    Die Strömungsverluste im Auslegungspunkt werden durch den Wert für $ \omega_d$ auf einen Gesamtverlust konzentriert. Damit im Auslegungspunkt die Gleichung 40 erfüllt ist, werden die Parameter $ i_{m,l}$ und $ i_{m,h}$ entsprechend eingestellt. Geht man von konstanter Minimalverlust-Inzidenz $ i_{m}$ bei Machzahlerhöhung aus, so wird die Inzidenz nach Gleichung 42 definiert.

    $\displaystyle i_m=i_{m,h}-\mid i_{m,l}\mid=i_d$ (42)


    Die Minderumlenkungskorrelation im Off-Design

    Als Basiskorrelation wird die Korrelation nach Carter aus [2] (Abschätzung der Differenz zwischen dem aerodynamischen Abströmwinkel im Design und der Tangente an die Skelettlinie der Profilhinterkante) benutzt, die eine schnelle Auswahl der Korrelationsparameter ermöglicht.
    Die Gleichung für die Gesamtminderumlenkung setzt sich aus der Minderumlenkung im Design und der Off-Design-Minderumlenkung zusammen.
    Als Belastungskriterium wird neben der Off-Design Inzidenz $ i_{od}=\delta_a$, mit der Bedingung $ i=i_m$ im Auslegungspunkt, ein nichlineares Glied zu Beschreibung der Minderumlenkungszunahme definiert. Weiterhin wird ein konstanter Wichtungsparameter $ t_m$ als Kriterium der Profilform verwendet.

    $\displaystyle \delta_{g}= \delta_{d}+\delta_{od}= \delta_{d}+f(i_{od})\ \cdot f(\Delta \beta_{od})\cdot t_m$ (43)

    Durch die Vorgabe der Strömungswinkel ist die Minderumlenkung im Design schon berücksichtigt. Aufgrund dieser Vereinbarung reduziert sich die Gleichung 43 wegen

    $\displaystyle \delta_{d}=0^{\circ}$ (44)

    zu

    $\displaystyle \delta_{g}=\delta_{od}=f(i_{od})\cdot f(\Delta \beta_{od})\cdot t_m$ (45)

    Die Basiskorrelation von Carter liefert durch Einsetzen der Off-Design-Inzidenz

    $\displaystyle f(i_{od})=m\ i_{od} \left( \frac{t}{l}\right)^{b} \ t_m \qquad \textrm{mit} \qquad i_{od}=i - i_{m}=\delta_a$ (46)

    Die jeweilige Gitterbelastung legt das Vorzeichen der Inzidenz fest (vgl. Kapitel 4.2). Für den Term, der die Minderumlenkungszunahme charakterisiert, wurden zwei Ansätze in [3] untersucht. Als erstes ein Term, der einen quadratischen Zusammenhang zwischen der Minderumlenkung und der Gitterbelastung liefert

    $\displaystyle f(\Delta \beta_{od})_{quad}=\frac{\Delta \beta_{od}}{\Delta \beta_{d}}$ (47)

    Wird das Minimum des quadratischen Ansatzes erreicht, muss der Betrag der Minderumlenkung konstant bleiben Die notwendige Bedingung lautet damit

    $\displaystyle f'(i_{od,min})=0$ (48)

    Daraus folgt für den Extremwert der Minimalstelle mit Hilfe von Gleichung 45 und 47

    $\displaystyle i_{od,min}=\frac{1}{2} \Delta \beta_{d} \qquad \textrm{f\~{A}\ens...
...} \Delta \beta_{d} \qquad\textrm{f\~{A}\ensuremath{\frac{1}{4}}r einen Stator.}$ (49)

    Für den exponentiellen Ansatz gilt

    $\displaystyle f(\Delta \beta_{od})_{exp}=e^{\frac{\Delta \beta_{od}}{\Delta \beta_{d}}}$ (50)

    Dabei ist die Strömungsumlenkung im Design für beide Ansätze

    $\displaystyle \Delta \beta_{d}=\beta_{d,e}-\beta_{d,a}$ (51)

    und

    $\displaystyle \Delta \beta_{od}=\Delta \beta_{d}-\delta_{a} \qquad \textrm{f\~{A}\ensuremath{\frac{1}{4}}r einen Rotor}$ (52)

    $\displaystyle \Delta \beta_{od}=\Delta \beta_{d}+\delta_{a} \qquad \textrm{f\~{A}\ensuremath{\frac{1}{4}}r einen Stator}$ (53)

    als Strömungsumlenkung im Off-Design definiert.
    Für die Minderumlenkung im Off-Design folgt mit den beiden Ansätzen

    $\displaystyle \delta_{od}=m\ i_{od} \left( \frac{t}{l}\right)^{b} \cdot f(\Delta \beta_{od}) \cdot t_m$ (54)

    Zur Bestimmung des Abströmwinkels wird zwischen Lauf- und Leitgitter unterschieden. Der Abströmwinkel berechnet sich für einen

    Rotor

    $\displaystyle \beta_{a}=\beta_{d,a}-\delta_{od} \qquad \textrm{mit} \qquad \beta_{d,e}<0$ (55)

    bzw. für einen Stator

    $\displaystyle \beta_{a}=\beta_{d,a}+\delta_{od} \qquad \textrm{mit} \qquad \beta_{d,e}>0$ (56)

    Dabei gilt für das Vorzeichen der Minderumlenkung bei

    Gitterbelastung: $ \ \delta_{od}>0 \qquad \textrm{mit} \qquad \delta_{a}>0 $
    Gitterentlastung: $ \delta_{od}<0 \qquad \textrm{mit} \qquad \delta_{a}<0$

    Für den Korrelationswert $ m$ liefert [1] für verschiedene Gittergeometrien Anhaltswerte als Funktion des Staffelungswinkels.

    Der dazu benötigte Staffelungswinkel $ \beta_{s}$ wird durch den Wert

    $\displaystyle \beta_s=\frac{\beta_{d,e}+\beta_{d,a}}{2}$ (57)

    ersetzt. Dieser Wert aus den Strömungsgrößen dient zur Abschätzung des tatsächlichen Staffelungswinkels auf der Basis der Metallwinkel.

    Durch die zusätzliche Bedingung, dass der Betrag des Gitterabströmwinkels nicht kleiner als der Betrag des Metallwinkels am Gitteraustritt werden kann, wird die Zunahme der Minderumlenkung im Bereich der Gitterentlastung beschränkt. Dazu wird aus den gegebenen Korrelationsgrößen mit dem Wert für $ m$ und der Strömungsumlenkung im Design $ \Delta {\beta}_d$ eine Berechnung der Designminderumlenkung durchgeführt.

    $\displaystyle \delta_{d,m}=m\ \Delta {\beta}_d\ \left(\frac{t}{l}\right)^b$ (58)

    Dieser Wert dient zur Abschätzung des Metallwinkels zur Bestimmung des maximalen Abströmwinkels (vgl. Abbildung 9).

    Abb.: 9 Minderumlenkung in Abhängigkeit der Gitterbelastung (qualitativ)

    Die markierten Bereiche in Abbildung 9 kennzeichnen den Zu- und Abströmbereich eines Rotorgitters im Off-Design. Wird durch die Korrelation eine Minderumlenkung berechnet, deren Betrag am Beispiel eines Laufgitters größer als die Minderumlenkung im Design ist $ \mid \delta_{choke}\mid >\mid \delta_{d}\mid $, berechnet sich der minimale Abströmwinkel für ein Laufrad zu

    $\displaystyle \beta_{min,a}=\beta_{d,a}-\delta_{d,m}=\beta_{m,a} \qquad \textrm{mit} \qquad \beta_{d,a}<0 \qquad \delta_{d,m}<0$ (59)

    Für ein Leitrad gilt

    $\displaystyle \beta_{min,a}=\beta_{d,a}-\delta_{d,m}=\beta_{m,a} \qquad \textrm{mit} \qquad \beta_{d,a}>0 \qquad \delta_{d,m}>0$ (60)

    Für die Wahl des Wichtungsparameter $ t_m$ der Minderumlenkungskorrelation gilt für den exponentiellen Ansatz Tabelle 2.


    Tab. 2: Bestimmung von $ t_m$
    Profilcharakteristik Wichtungsparameter $ t_m$
    NACA-65 0.5
    Inverse Auslegung 0.15


    Der fan-designer verwendet als Minderumlenkungszunahme in off-design die Korrelation mit exponentiellem Ansatz (Tabelle 2). Dabei wird der Parameter $ t_m$ auf $ t_m=1.0$ gesetzt und die Korrelation ausschliesslich über den Korrelationswert $ m^{*}=m\ t_m$ gesteuert.

    Literatur

    1: Cumpsty, N. A.; Compressor Aerodynamics, Department of Engineering, University of Cambridge, Longman Group UK Limited, 1989

    2: Johnsen, I.A., Bullock, R.O.; Aerodynamic Design of Axial-Flow Compressors, NASA SP-36, 1965

    3: Müller, T.; Kalibrierung von Verlustkorrelationen zur Berechnung des Kennfeldes von Axialverdichtern, Diplomarbeit FG Strömungsmaschinen, Universität Kassel, 1999

    4: Pfleiderer, Carl und Petermann Hartwig; Strömungsmaschinen, Springer Verlag, 5. Auflage, 1986

    5: Bohl, Willi; Strömungsmaschinen 1, Vogel-Fachbuch, 7. Auflage, 1998

    6: Bohl, Willi; Strömungsmaschinen 2, Vogel-Fachbuch, 5. Auflage, 1995

    7: Eck, Bruno; Ventilatoren, Springer Verlag, 5. Auflage, 1991

    8: Eckert, Bruno und Erwin Schnell; Axial- und Radialkompressoren, Springer Verlag, 2. Auflage, 1980

    9: Traupel, W; Thermische Turbomaschinen: Band 1, Band 2, Springer Verlag, 2001

    10: Bommes, Leonard und Kramer, Karl; Ventilatoren, Expert Verlag, 1990

    11: Grimes, R; Walsh, E.; Quin, D.; Davies, M.; Effect of Geometric Scaling on Aerodynamic Performance, AIAA Journal Vol 43 No. 11, 2005

    12: Grimes, R; Davies, M.; Punch, J.; Dalton, T.; Cole, R.; Modeling Electronic Cooling Axial Fan Flows, Journal of Electronic Packaging, ASME, Vol 123, June 2001

    13: Quin, D.; Grimes, R; The Effect of Reynolds Number on Microaxial Flow Fan Performance, Journal of Fluids Engineering, ASME, Vol 130, 2008

    14: D.G. Wilson, T. Korakianitis, The Design of High-Efficiency Turbomachinery and Gas Turbines, 2nd Edition, Prentice-Hall, Englewood, Cliffs NJ, 1998

    15: Harmsen, S.; PAPST-Lüfter: Bauart, Wirkungsweise und Verhalten im praktischen Einsatz GmbH&Co. KG, PAPST-MOTOREN, 2002

    16: Harmsen, S.: Angelis, W.; Lüfter für die Elektronikkühlung, Zeitschrift Systemtechnik, Band 55, S. 54-59, 2006


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